CIENCIAS FÍSICAS EN EL CUERPO HUMANO.

 

       

 (Tercera edición)

 

 

Pedro Hugo García    Peláez

 

 

 

Dedicado a mi madre, con todo el cariño, allí donde quiera que esté.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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© Pedro Hugo García Peláez, 2015

 

 

 

                                   

 

 

                                     

 

 

 

                    

 

Foro de Ciencias Físicas en el Cuerpo Humano

 

                           

 

 

 

 

 

 

 

 

                              

 

 

 

                             

 

 

 

 

 

 

ÍNDICE

 

 

 

PRÓLOGO

 

1.PERIODO, MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y RESONANCIA.

 

2. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE DE LAS PIERNAS, BRAZOS Y DEDOS DE LA MANO.

 

3.  EJERCICIOS DE BRAZOS Y PIERNAS COMO PÉNDULOS DOBLES.

 

 

4. EFECTOS DE RESONANCIA AL NADAR.

 

 

5. LOS BRAZOS COMO MUELLES.

 

 

 

 

 

 



Prólogo a la tercera edición:

 

 

 

 

 

En esta tercera edición me he dado cuenta, que no es necesario introducir conceptos complicados como ecuaciones diferenciales para justificar de donde viene la fórmula de un péndulo físico, ya que esa sería materia para un libro de física propiamente dicho.

Ecuaciones diferenciales o integrales para explicar los ejercicios descritos son innecesarias en un libro que pretende llegar a todo el mundo y cuyo objetivo es que la gente tenga un cuerpo más sano y viva mejor.

Por mi experiencia es probable que algunos de mis lectores comprendan que es una derivada, pero si encima le pones la resolución de una ecuación diferencial, le vas a aburrir y lo que pretendo es llegar a todo el público, desde un ama de casa, una profesional de lo que sea o un abuelito que esté en su casa, tanto si tiene, como si no tiene estudios universitarios.

En consecuencia he escrito un libro que aunque puramente científico y basado en las ciencias físicas, pueda ser leído por todo el mundo con un lenguaje llano y claro.

Lo más difícil que vas a tener que resolver es una raíz cuadrada, o sea cosas como:

 

 

Que con la ayuda de las calculadoras no representa ningún problema.

 

 

 

 

 

 

 

 

Capítulo 1

 

Periodo, movimiento armónico simple y resonancia.

 

  

UNIDAD 1

 

PERIODO Y MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE.

 



 

Yo tengo una máxima:

"Lo que no se puede medir no sirve de mucho".

Obviamente existen cosas etéreas como el amor, pero cuando alguien te dice te quiero mucho, no sabes si lo dice de verdad o te está mintiendo, los números no mienten, y este libro trata de darte las herramientas necesarias para que halles los tiempos en los que debes mover diferentes partes de tu cuerpo para moverte de forma armónica.

En realidad lo que te voy a contar está íntimamente ligado a la fuerza de la gravedad, ésta es una fuerza a distancia lo que quiere decir que la tierra atrae a un avión aunque no haya nada aparentemente que los una, no voy a entrar en consideraciones de si hay una malla espacio tiempo o unas cuerdas imaginarias, como en la teoría de cuerdas que lo une todo.

De hecho todo va a ser muy simple, lo más complicado  que vas a tener que hacer son raíces cuadradas. Las raíces cuadradas son otro número que elevado al cuadrado da el número que originalmente estaba dentro de la raíz, o sea.

 

 

 

También deberás conocer el sistema internacional de medidas, uso el sistema internacional ya que es el más usado en física, y sus unidades principales son segundos para el tiempo, kilogramos para la masa y metros para las longitudes.

Lo que voy a escribir en este libro no es un descubrimiento científico, es simplemente una aplicación de la mecánica clásica a los movimientos de brazos, piernas, etc...

La mecánica clásica es la mecánica de Newton y es la mecánica de los cuerpos grandes, no vamos a entrar en consideraciones relativistas o de mecánica cuántica de ningún tipo.

Ya he introducido que lo que voy a escribir está íntimamente ligado a la fuerza de la gravedad, ahora vamos a dar un paso más allá y voy a explicar que es un movimiento armónico simple, a partir de ahora (m.a.s).

Un (m.a.s) es simplemente el movimiento de un columpio, si obviamos el rozamiento de las cadenas con su punto de anclaje, aunque parezca mentira si no existiera éste rozamiento, el columpio seguiría oscilando en el mismo tiempo y con la misma amplitud que tuviera eternamente.

¿Por qué el columpio seguiría oscilando exactamente igual para siempre?, la respuesta se debe a la fuerza de la gravedad.

La fuerza de la gravedad en ciertas circunstancias produce una fuerza gratis, que si sabemos aprovecharla redundará en nuestro beneficio.

Bien ya sabemos que la fuerza de la gravedad en algunas circunstancias produce una fuerza gratis y también produce un (m.a.s)

Voy a poner el ejemplo de un péndulo, un péndulo oscila más lentamente cuanto mayor sea la longitud de su cuerda, vamos a pensar que un brazo nuestro es un péndulo, obviamente un brazo más largo deberá oscilar más lentamente si lo comparamos con un péndulo, esto es importante no es que debamos moverlo más lentamente a ojo de buen cubero, es que hay una formula física que te mide con dos decimales el tiempo en que debes mover tu brazo si lo consideras un péndulo.

La fórmula del periodo de un péndulo simple es:

 

- Siendo (h) la longitud de la cuerda, que consideramos de masa despreciable.

Cuando hablamos de periodo y frecuencia estamos hablando de la misma cosa, de hecho la frecuencia es la inversa del periodo, yo prefiero usar el periodo ya que es para mí, una forma más

simple de describir el tiempo que la frecuencia, la frecuencia se usa más en ondas ya que a algunos físicos les resulta más fácil este concepto para visualizar algunas propiedades de las ondas, pero vuelvo a repetir que periodo y frecuencias es la misma cosa, únicamente una es inversa de la otra, y de hecho la frecuencia de las ondas de televisión se podrían medir usando el periodo o sea una onda de 50 Hercios es únicamente una onda con un periodo de:

 

 

Únicamente manías de los físicos y es que en realidad somos muy maniáticos.

Por otra parte cuando hablamos de periodo de oscilación natural, hablamos del periodo propio intrínseco de cada cuerpo, cuando soltamos un péndulo y obviamos el rozamiento podemos medir con la fórmula su periodo de frecuencia natural de oscilación, pero como siempre existe el rozamiento a la fuerza extra que debemos hacer para que mantenga su propio periodo de oscilación natural la llamaremos:

 

 

¿Por qué mover el brazo como un péndulo?, básicamente porque no entras en desfase con la fuerza de la gravedad y por tanto estás aprovechando mejor tu esfuerzo.

Éste tiempo en el que debes mover tu brazo se denomina periodo y se mide en segundos, periodo significa que en un movimiento que se repite exactamente igual a trozos, como el movimiento de un péndulo, es el tiempo en el que la partícula vuelve a repetir sus mismas condiciones de velocidad, aceleración y posición, dicho de forma más fácil, si movemos un péndulo colgado del techo y lo soltamos, el periodo de oscilación sería el tiempo que tarda en ir y volver a la misma posición en que lo soltamos.

Vemos que el péndulo que aparentemente es un sistema físico en apariencia simple da mucho juego, de hecho los relojes de péndulos se hacen con unas longitudes específicas para que midan bien el tiempo.

Ya comprendemos que un péndulo tiene su propio periodo de oscilación natural que únicamente depende de la longitud de la cuerda, y vemos que es un sistema simple.

Si en vez de mover el péndulo desde su posición de descanso movemos un poco el brazo, no se moverá de forma pendular, ya que el rozamiento con el hombro hará que su mueva más lentamente, pero si lo impulsamos con nuestro propio impulso podremos lograr que se muevan en su propio periodo de oscilación natural, y por lo tanto estaremos aprovechando mejor nuestro ejercicio que si lo movemos en un tiempo que entre en desfase con su propio periodo de oscilación natural.

 

 

 

SEGUNDA UNIDAD

 

RESONANCIA

 

 

Pero es que además vamos a entrar con el último concepto importante que debemos conocer y es el de la resonancia, hasta ahora hemos visto sistemas simples, un brazo oscilando con nuestro propio impulso y un péndulo oscilando debido a la fuerza de la gravedad, pero ahora voy a introducir dos sistemas juntos, el ya clásico conocido ejemplo de la soprano que con su voz hace romper un vaso.

El mecanismo para romper el vaso es el siguiente, la soprano emite una nota continuada, esa nota tiene un periodo determinado que hace vibrar el aire continuamente de la misma forma y en un mismo tiempo, si el vaso se pone a vibrar adelante y atrás en ese mismo tiempo se produce una fuerza que se llama resonancia que hace romperse el vaso.

El Talmud es un libro Hebreo que trata temas religiosos y leyes.

Es curioso porque fue escrito hace 4.000 años y un precepto legislativo de este libro decía que si una gallina rompía con su cacareo una vasija metiendo su cabeza dentro, el dueño de la gallina debía pagar el destrozo.

A este efecto se le llama resonancia, y por lo visto ya lo conocían hace miles de años.

El mecanismo es el mismo que hace la soprano con una nota sostenida que consigue romper el vaso, como ya hemos visto.

Un físico francés que además criaba gallinas lo calificó como el precepto no necesario, ya que él nunca vio una gallina meter su cabeza en una vasija y romperla con su cacareo.

En fin vemos que la resonancia era conocida en los albores de la civilización, donde los legisladores lo tipifican de una manera un poco extraña, en base a un fenómeno que no ocurre casi nunca, a no ser que en esa época fuera un problema tan grande como para tipificarlo.

Las mismas consideraciones se tienen en cuenta en el ejército, ya que cuando un batallón pasa por un puente, se le hace perder el paso para que la fuerza de las piernas de la tropa al unísono no entre en resonancia con la estructura del puente y haga que éste se caiga.

Voy a poner la fórmula de la amplitud del movimiento para dos sistemas con frecuencias muy parecidas, éste es el fenómeno de la resonancia, es una fórmula simple que explicaré.

 

 

 

 

 

 

 

En el caso de que un terremoto mueva la tierra con una frecuencia y que una casa vibre en una frecuencia casi igual, la amplitud del movimiento tiende a infinito ya que el denominador se hace muy cercano a cero.

 

 

  Sería La frecuencia con la que vibra la casa.

 

Y

 

Sería la frecuencia con la que el terremoto hace vibrar la tierra.

 

 

 

 

 

 

 

 

Viendo el gráfico imaginemos que la frecuencia de oscilación natural de la casa sea cercana a cero y la frecuencia del movimiento del terremoto moviendo la tierra también se acerque a cero, vemos que la amplitud del movimiento tiende a infinito.

A este fenómeno se le llama resonancia.

 

 

 

Es lo que llamamos frecuencia natural de oscilación de un cuerpo, la casa tiene una frecuencia de oscilación natural que si coincide con la frecuencia del terremoto la puede derribar, de igual modo que nuestro cuerpo tiene una frecuencia de oscilación natural cuando nadamos.

Como veremos más adelante si nuestro cuerpo tiene un periodo de oscilación natural y lo movemos en dicho periodo la amplitud crecerá y ampliaremos el movimiento unos milímetros o unos centímetros más, no tenderá a infinito el movimiento por fuerzas como la de la gravedad, o en el caso de la natación por el empuje hacia arriba del agua, pero conseguiremos ampliar el movimiento unos centímetros más gratis, además de aprovechar  mejor nuestra fuerza, al no entrar en desfase con nuestro propio periodo de oscilación natural.

En el caso del péndulo o al mover nuestro brazo no entramos en consideraciones de dos sistemas que interaccionan ya que al moverlos en su propio periodo de oscilación natural ya están entrando en resonancia consigo mismos.

Pero es importante que nuestro brazo entre en resonancia consigo mismo ya que la amplitud del movimiento tiende a infinito, venas y huesos se fortalecen notablemente.

No necesitamos usar una gran fuerza sino que estamos aprovechando que podemos conocer el tiempo en el cual debemos mover nuestros brazos o piernas para aprovecharnos que la amplitud del movimiento tiende a infinito.

La frase siguiente no es del todo exacta ya que la resonancia se mide entre (m.a.s.) que tienen periodos casi iguales, por lo tanto no es una fuerza, pero aunque no sea del todo exacto, a mi me gusta decir que al hacer el movimiento de un (m.a.s.) con un periodo igual al periodo de oscilación natural del propio cuerpo, entramos en resonancia con la fuerza de la gravedad y es que en realidad al mover nuestro brazo en su propio periodo de oscilación natural, estamos aplicando una fuerza para que se mueva en ese tiempo que depende de la fuerza de la gravedad.

Por último decir que siempre me llamó la atención una imagen que tuve una vez en un examen, y es que dos cargas eléctricas esféricas colgadas de un hilo al soltarse se repelen y si son de la misma carga producen la figura de un péndulo, obviamente no se mueven por la fuerza repulsiva pero se parece enormemente a la figura de un péndulo.

 

No sé si la unificación de la teoría electromagnética con la gravitacional seguirá pautas como la de un péndulo, aunque ahora está de moda la teoría de cuerdas, que en cierta manera tiene analogías con el movimiento pendular, el estudio del movimiento de una cuerda se estudia en esta rama de la física, de vibraciones y ondas y se simplifica enormemente si la cuerda está anclada en un punto, por eso se producen esos movimientos tan curiosos de las serpentinas ya que al lanzarlas están ancladas al punto fijo de la mano que las lanzó.

Pero vemos que un péndulo que vuelvo a repetir que parece un instrumento muy simple da mucho juego en física.

Por último repetir que en la ecuación del periodo de un péndulo simple, vemos que la única variable que hay es la longitud de la cuerda, las demás son constantes, si no hubiera esa variable todos los péndulos se moverían en el mismo periodo y todos los brazos o piernas tendrían el mismo periodo de oscilación natural, por lo tanto esa variable será la que determine como una persona deba mover su brazo en forma pendular en el tiempo que le corresponda.

Vemos que no necesitamos una fuerza muy grande, como es el caso de la soprano, pero una vez que entra en resonancia con la frecuencia natural del otro oscilador la amplitud resultante tiende a infinito.

Vemos que la palabra clave es "resonancia" y te voy a dar las herramientas necesarias para que halles las frecuencias con las que debes mover diferentes partes de tu propio cuerpo.

         

 

Capítulo 2

 

 

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE DE LAS PIERNAS, BRAZOS, DEDOS DE LA MANO Y DE TODO EL CUERPO.

 

 

 

Primera Unidad

Introducción al péndulo simple

 

 

 

 

 

 

 

 

 

El periodo de un péndulo simple es:

 

 

 Sin embargo un péndulo tiene una

dependencia de la posición respecto a su velocidad.

Un péndulo al soltarlo no empieza a bajar rápido, se para, vuelve a acelerar y después sigue un ritmo constante, o sea no va a tirones, sino que sigue un movimiento armónico, por eso se le llama movimiento armónico simple a su movimiento.

También considerar que estamos haciendo aproximaciones para péndulos físicos con oscilaciones pequeñas, que son suficientemente acertadas, estas aproximaciones son perfectamente válidas para oscilaciones no muy grandes de amplitud.

Se podría  usar la fórmula general de un péndulo aunque no creo que sea necesaria para nuestros cálculos ya que normalmente no excederemos esta amplitud, aunque bien es cierto que en algunos ejercicios se puede superar un poco esa amplitud,  como normal general si hacemos un movimiento pendular de una amplitud muy grande, o sea cercana a un semicírculo añadiremos un 10% de tiempo al hallado para ese oscilador físico con la fórmula para oscilaciones pequeñas.

 

 

 

Para optimizar el movimiento de piernas y brazos hay que tener un par de consideraciones sobre el péndulo, en los extremos de su movimiento su velocidad es cero y su aceleración es máxima.

Y en su punto más bajo su velocidad es máxima y su aceleración es cero.

Por lo tanto en los próximos ejercicios debemos empezar el movimiento pendular de nuestros brazos y piernas de una manera lenta, llegando a su máxima velocidad en su punto más bajo, para simular el movimiento de un péndulo, ya que vamos a considerar piernas y brazos como péndulos físicos de simetría cilíndrica, y una vez conseguida la máxima velocidad en el punto más bajo ir reduciendo el impulso hasta llegar a pararse en el otro extremo y volver a repetir el ejercicio.

Todo esto en el tiempo que hallaremos a continuación para cada brazo o pierna particular de cada persona.

Sé que es un poco complicado pero con un poco de práctica se puede conseguir.

De hecho para el ejercicio de la natación también hay que seguir este procedimiento, empezar con una inmersión lenta, aumentando la velocidad en el punto medio de la inmersión y reduciendo la velocidad hasta llegar otra vez a la superficie.

Aunque estas consideraciones se pueden obviar un poco y hacer el ejercicio completo en el periodo total hallado, sin preocuparse excesivamente por estos detalles. 

 

 

 

Unidad 2

Movimiento pendular simple de las piernas

 

 

El primer ejercicio es el clásico de la bailarina, con un pie apoyado en el suelo y apoyándose con una mano, mover la otra pierna en el aire libremente, a todos los efectos la pierna que está en el aire de una forma rígida se puede mover como si fuera un péndulo físico de simetría cilíndrica anclado en la cadera.

Lo ilustro en el siguiente dibujo.

 

Estos ejercicios de piernas, brazos y dedos de la mano que voy a describir son bastantes ligeros, y no deberemos excedernos con la amplitud del movimiento, para que coincida con la fórmula general de un péndulo de oscilaciones pequeñas.

Y digo que son muy ligeros y no compensa hacerlos a no ser que sea para ejercicios de rehabilitación o cuando el cuerpo está débil, pero si son recomendables en condiciones extremas, yo particularmente los hago en la sauna, donde me ayudan a sudar más, en estas circunstancias extremas hay que hacerlos con precaución.

Pero nos van a servir de introducción para otro tipo de ejercicios mucho más potentes que describo en el siguiente capítulo, o sea nos van a servir de introducción a lo que se llama un péndulo físico doble, que son dos péndulos físicos acoplados.

Un péndulo físico o péndulo compuesto es cualquier cuerpo rígido que pueda oscilar libremente en el campo gravitatorio alrededor de un eje horizontal fijo, que no pasa por su centro de masas.

Está en la definición física de un péndulo físico, que básicamente quiere decir que si colgamos un objeto del techo, y lo separamos de su posición de equilibrio oscilará debido al campo gravitatorio terrestre.

De hecho para que funcionen estos ejercicios se deben considerar los péndulos anclados en alguna parte y sin contacto con el suelo, o sea que sean atraídos por la gravedad terrestre.

El ejercicio de hacer el pino apoyando las manos en el suelo no tiene ninguna analogía con un péndulo.

Hallar el periodo de un objeto con forma de patata gigante colgado del techo es bastante complicado, ya que tiene una forma muy difícil para las consideraciones y cálculos físicos, pero en el caso de brazos y piernas si asemejamos estos a péndulos físicos de forma cilíndrica, los cálculos si son posibles de hacer con bastante exactitud, haciendo la aproximación que la pierna tiene una densidad constante, ya hemos dicho que para simplificar los cálculos en física, se usan aproximaciones que sean realistas y válidas, y en este caso vamos a usar esa aproximación.

A todos los efectos la pierna actúa en este movimiento como un péndulo físico de forma cilíndrica de periodo :

 

 

-(I) Es el momento de inercia viene a ser como la resistencia a la oscilación del cuerpo que estamos tratando, como está en el numerador un cuerpo con mayor momento de inercia tendrá un periodo mayor y por lo tanto oscilará más lentamente, las variables que se usan al medir el momento de inercia de un cuerpo son su masa y su forma, simplificando los cuerpos con mayor masa y más grandes tienen un momento de inercia mayor y por lo tanto oscilan más lentamente.

-(m) Es la masa de la pierna, en el cuerpo humano la pierna viene a pesar el 10% del peso total del cuerpo humano

-(g) Es la aceleración de la gravedad al nivel del mar 9,81 m/s2 que se puede considerar constante en cualquier parte del planeta tierra.

-(h) Es la distancia de la cadera que actúa como punto de anclaje al centro de masas de la pierna que aproximadamente anda sobre la rodilla.

El momento de inercia de un cilindro  que oscila por una de sus tapas es:

 

 

En realidad éste es el momento de inercia de un cilindro que oscila por uno de sus extremos, siendo este cilindro de un radio o grosor pequeño comparado con su longitud, para ahorrarnos cálculos innecesarios que aumentarían o disminuirían una milésima de segundo el cálculo del periodo, he decidido usar la fórmula simplificada que es bastante válida.

Donde:
-(M) Es la masa del cilindro.

-(l) Es la longitud total del cilindro.

 

Todas las unidades hay que ponerlas en el sistema internacional de medidas.

Metros, segundos y Kilogramos.

 

 

Es curioso que el momento de inercia, sea el que tiene la expresión más simple entre los diferentes momentos de inercia de un péndulo físico en forma de cilindro, ya que estos momento de inercia cambian según desde que punto escojamos como anclaje para su oscilación.

Es como si el diseño del cuerpo humano nos ofreciera fórmulas simples para su descripción, a pesar de ser bastante complejo a primera vista.  Por ejemplo un péndulo que oscile colgado de su centro tiene una expresión más difícil, pero sigamos con esta expresión insertándola en la fórmula del periodo y veamos que ocurre otra cosa bastante curiosa.

 

 

 

 

Lo primero que pasa es que la masa se cancela, por lo tanto no necesitamos saber el peso de la pierna, de hecho el periodo sólo depende de la longitud de la pierna, y de la distancia del punto

de anclaje al centro de masas.

 

 

 

 

 

 

Es muy importante que la masa se cancele, ya que la aceleración de la gravedad trata igual a una pierna pesada que a otra más ligera.

Es algo muy democrático y por lo tanto alguien con las piernas más pesadas no debe preocuparse, ya que oscilaría en el mismo periodo que otra pierna más ligera.

Cuando digo que la masa se cancela, no es del todo cierto, ya que la otra variable es la distancia del punto de anclaje de la pierna, o sea la cadera, al centro de masas de la pierna.  Pero esto en realidad sigue sin influir en los cálculos, ya sea una pierna con mucha masa u otra menos pesada,  ambas tienen situado el centro de masas en la misma posición, aproximadamente por la zona de la rodilla.

El centro de masas es una media ponderada de la masa de la pierna por partes, más pesada en los muslos y menos pesada en los tobillos, el cálculo se hace como ilustro en el siguiente dibujo.

 

 

 

 

El centro de masas del primer bloque está a dos unidades horizontales del extremo inferior y a una unidad vertical.

El centro de masas del segundo bloque estaría a 4,5 unidades del extremo inferior y a una unidad vertical.

La fórmula que hay que usar es:

- M es la masa total y r es el vector posición.

 

 

 

 


Sumando los dos vectores posición multiplicados por su masa y dividiéndolo por la masa total nos da el vector de centro de masas, o sea:

 

O sea el vector de componentes (2.5, 1)

 

 

Parece que el centro de masas está un poco desviado ya que está en el centro, y la masa de 4 Kg. Parece que pondera mucho más en el resultado que la de 1 Kg.

¿Nos habremos equivocado en los cálculos?.

Vamos a verlo de otra manera.

 

 

Vemos que la física tiene su lógica y los cálculos no nos han engañado.

 

Ahora empecemos con los cálculos, para una pierna de 0,85 metros.

-(l) Es la longitud total de la pierna desde la cadera al pie.

 La longitud de la pierna es de 0,85

metros.

-(h) Es la longitud que hay desde el punto de anclaje al centro de masas de la pierna, digamos que es como el punto medio de la masa de una pierna, medido desde la cadera.  Como en los muslos hay más masa que en los gemelos, pero también hay que considerar que la parte de la pierna desde la rodilla al pie es un poco más larga por lo que lo situaremos a 0,42 metros, podemos considerar que está situado a 0,42 metros de la cadera.

El punto medio de una pierna de 0,85 metros está situado a 0,42 metros.

Pasando estas cantidades a la fórmula del periodo de oscilaciones

 

 

 

 

 

tenemos que:

 

 

 

 

 

 

 

Considerando a una persona de esas medidas, debería hacer el movimiento de una pierna desde que la empieza a mover hasta el otro extremo en 0,76 segundos, la mitad del periodo total.

No es un tiempo ni muy grande ni muy pequeño yo lo catalogaría de un ritmo ligero.

Y el movimiento de mover las  piernas,  desde su posición inicial hasta el otro extremo y volver, en 1,52 segundos.

En algunas ciudades hay unos aparatos donde apoyas el pie y mueves la pierna de forma rígida hacía delante y atrás, el movimiento es como el que hacen los esquiadores de fondo, pero el aparato está un poco levantado del suelo, a todos los efectos estamos usando las dos piernas como dos péndulos físicos de simetría cilíndrica, o sea como el movimiento de la bailarina pero ahora con las dos piernas y por lo tanto tenemos que usar el periodo hallado anteriormente en el ejemplo de la bailarina para mover una pierna de forma rígida, pero de esta forma podemos usar ambas piernas.

 

El otro ejercicio que propongo es tener el muslo en posición horizontal y mover la parte de la pierna que va desde la rodilla al pie de forma pendular.

Ahora a todos los efectos la parte que va de la rodilla al pie actúa como un péndulo físico anclado en la rodilla.

 

gemelos

 

Por mi experiencia hay que tener un poco de cuidado ya que se fuerza un poco la rodilla en esa posición al actuar la rodilla como punto de anclaje en una posición un poco inestable.

El periodo que vamos a hallar es totalmente similar al buscado en el apartado anterior, sólo que ahora considerando la parte de la pierna que va de la rodilla al pie.

Voy a hallar el periodo correspondiente para una pierna cuya medida de la rodilla al pie es de 0,42.

Ahora hay que considerar como longitud, la parte de la pierna que va desde la rodilla al pie, o sea

-(l) mide en esa pierna 0,42 metros (viene a ser la mitad de la pierna completa).

-(h) que es la distancia de la rodilla al centro de masas, viene a estar más o menos en el centro, o sea a 0,21 metros de la rodilla, ya que aunque la pierna pesa más en los gemelos que en el tobillo, al incluir el pie desplaza el centro de masas más o menos al centro de la medida total.

Por lo tanto el periodo de oscilación natural de la parte inferior de la pierna es:

 

 

 

 

Poniendo esta cantidad en la fórmula del periodo de oscilaciones tenemos que:

 

 

 

 

 

 

Resumiendo en el primer ejercicio con la pierna rígida, la cadera actúa como punto de anclaje y tenemos que considerar toda la pierna desde la cadera al pie.

En el segundo ejercicio, el punto de anclaje del péndulo físico está situado en la rodilla y debemos considerar la parte de la pierna desde la rodilla al pie, para hacer nuestros cálculos.

 

 

 

Unidad 3

Los dedos

 

 

 

Hallaremos el periodos de oscilación natural que como hemos visto en brazos y piernas sólo depende de su longitud y de la distancia desde el punto de anclaje al centro de masas, como hemos visto lo que pretendemos es que cada uno halle los suyos.

Si hay alguna pianista leyendo el libro hará que pueda tocar una melodía más sublime si cabe, de lo que habitualmente hacen.

También nos servirá para teclear el teclado o pulsar el ratón con menos cansancio.

Una consideración importantísima es que la pianista deberá mover sus dedos de acuerdo con el ritmo de la melodía, esto sólo es un libro de física que pretende dar una idea, la idea sería hacer una melodía al ritmo de la frecuencia natural de los dedos de la pianista, pero esto es otro cantar, pero vamos a ayudarla en el caso que quiera hacer una interpretación de forma más armónica si cabe.

Podemos hallar el tiempo en el que debería golpear la tecla la pianista.

Primero deberemos hallar el periodo de oscilación natural de un dedo, como hemos hecho hasta ahora con las diferentes partes de nuestro cuerpo.

El momento de inercia de un dedo es de simetría cilíndrica.

 

 

 

 

Voy a hacer los cálculos para un dedo índice:

- (l) Es la longitud de un dedo índice de  8 cm.

O sea 0,08 metros.

- (h) Es la distancia del punto de anclaje, o sea los nudillos al centro de masas. Que anda muy aproximadamente por la mitad del dedo o sea a 0,04 metros.

Poniendo estas medidas en la fórmula del periodo de oscilación natural de un péndulo físico de simetría cilíndrica tenemos que:

 

 

 

 

 

 

 

Lo que es bastante rápido, y además este es el tiempo en el que se realiza una oscilación completa.

Y debemos recordar que para movimientos de gran amplitud, como éste que simula un movimiento pendular de 180º habrá que aumentar el periodo un 10% o sea el periodo total sería de 0,5 segundos.

Pero es que además el movimiento descrito es una octava parte del movimiento total de un péndulo, por lo que la pianista deberá golpear la tecla desde que tiene el dedo en la posición horizontal en 0,06 segundos o como muy lento en 0,1 segundos, o sea una décima de segundo.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Unidad 4

Brazos

 

 

Los brazos actúan de forma totalmente análoga a las piernas y no voy a hacer los cálculos, para no ser repetitivo, se calculan de igual manera que las piernas, pero ahora con las longitudes de los brazos.

Sólo voy a ilustrar el dibujo de mover el antebrazo anclado en el codo .

La posición es parecida a los antiguos grabados que hacían los egipcios.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          Capítulo 3

 

 

EJERCICIOS DE BRAZOS Y PIERNAS COMO PÉNDULOS DOBLES.

 

 

 

 

 

 

 

Unidad 1

Introducción al péndulo doble acoplado.

 

 

En el capítulo anterior he introducido el concepto de péndulo simple y péndulo físico que nos va a servir ahora para un estudio mucho más profundo y potente de los péndulos.

Lo que viene ahora son los péndulos dobles acoplados, como en el capítulo anterior se pueden distinguir dos tipos de péndulos dobles acoplados:

El péndulo doble acoplado simple y el péndulo doble acoplado físico

El péndulo doble simple es el formado por dos péndulos simples, se puede considerar como el descrito en la figura.

 

 

 

 

 

Los péndulos acoplados tienen una articulación que les permite oscilar independientemente, a pesar de que los dos están conectados.

En este caso los dos péndulos oscilan con el mismo periodo, es lo que se llama un modo normal, para un sistema como el del dibujo con los dos péndulos iguales, un modo normal de este sistema quiere decir que ambos péndulos oscilan con el mismo periodo.

Si cambiáramos las condiciones iniciales un poco, por ejemplo al soltar la cuerda diéramos un pequeño empujoncito al sistema, este movimiento se convertiría en un movimiento caótico.

Si lo hacemos con cuidado y soltamos los péndulos con cuidado y mantenemos las cuerdas tensas, se produciría un movimiento normal, o sea los péndulos oscilarían con el mismo periodo, o lo que es lo mismo, con la misma velocidad angular.

Éste es uno de los modos normales de este sistema, los modos normales como he introducido son los modos en que ambos péndulos oscilan con el mismo periodo.

Cuando tenemos dos masas acopladas, existen dos modos normales, cuando tenemos tres masas existen tres modos normales y así sucesivamente.

Ahora vamos a ver el caso general para un péndulo doble, con cada péndulo simple desviado un ángulo cualquiera.

Lo ilustro en el siguiente dibujo

 

 

 

 

Cuando las longitudes de las cuerdas son diferentes o sea:

 

O cuando las masas son diferentes o sea:

 

O incluso cuando damos una velocidad inicial diferente a cada péndulo, los cálculos para hallar el periodo de cada uno de los péndulos son muy complicados, de hecho para casos donde la energía potencial del péndulo doble es grande, esto quiere decir que soltamos los péndulos desde muy arriba en posición casi horizontal se produce un movimiento caótico de los dos péndulos

Movimiento caótico no es que se enreden, se hagan un nudo y se suiciden. Si no que el movimiento es impredecible, lo mismo que su velocidad, o sea no sabemos si en la oscilación siguiente el péndulo de abajo va a moverse mucho, poco o va a dar una vuelta de campana.

Este movimiento caótico del péndulo doble, se usa en economía o probabilidad para modelar procesos que son impredecibles.

Vemos otra vez que a pesar de la simpleza de un péndulo doble acoplado, éste sigue dando mucho juego y no sólo en física.

Pero si ambas longitudes de cuerda son iguales y la masas también, existen dos modos normales de oscilar, que se pueden hallar de forma fácil, o sea si los soltáramos con esa velocidad angular ambos oscilaran en el mismo periodo, hay que tener en cuenta que velocidad angular y periodo están relacionados por la siguiente fórmula.

 

 

Siendo w la velocidad angular y T el periodo.

Hablar de velocidad angular y periodo es casi lo mismo.

Ésta introducción nos sirve para introducir el concepto muy importante de péndulo doble físico acoplado.

Era necesario introducir el concepto de péndulo doble simple ya que cuando el péndulo doble físico está compuesto por dos piezas iguales, con la misma masa, forma y densidad,  se comporta de igual manera que el péndulo doble formado por dos péndulos simples.

 

 

 

 

 

 

 

 

En el dibujo anterior  vemos dos péndulos físicos acoplados y articulados por el punto blanco que hay en el centro

Vimos en el capítulo anterior que podemos dividir brazos y piernas en dos péndulo físicos casi iguales, en la pierna era el muslo y el otro péndulo la parte de la pierna que va de la rodilla al pie.

Debemos agradecer a quien nos diseñó que podamos dividir piernas y brazos en dos partes casi iguales, sobre todo para hacer nuestros cálculos, de hecho de todas las patas de animales que conozco se pueden dividir en dos partes casi iguales.

Por ejemplo mover una a pierna con un muslo tres veces mayor que la parte de los gemelos sería caótico, parece que la Teoría de la evolución de Darwin y la Biología están totalmente en contra de este movimiento caótico.

Como en el caso de los dos péndulos simples, si los dos péndulos físicos difirieran en masa o forma, las ecuaciones serían complicadísimas.

Pero si podemos dividir nuestras piernas y brazos en dos péndulos físicos iguales unidos los cálculos resultan posibles .

Entre el péndulo doble simple y el físico hay una clara analogía,  y es cuando ambos péndulos son iguales, ya que en ese caso ambos funcionan de una manera análoga y ambas frecuencias normales se pueden hallar fácilmente.

Reitero que hablar de periodo, frecuencia y velocidad angular, es hablar de la misma cosa, yo insisto en usar principalmente el periodo ya que lo considero un concepto más asequible para mis lectores.

Los dos modos normales entonces tienen dos periodos que son:

 

 

De estos dos modos normales podemos elegir el que más se adapte a nuestros gustos, cualquiera de ellos es válido.

La única variable que hay es (L) que es la medida de la mitad de nuestras piernas o la mitad de nuestros brazos.

(L) no es la longitud total de nuestros brazos o piernas sino la mitad de dichos cuerpos.

No voy a justificar como se llega a estos dos modos normales, ya que sería materia propia de un libro de física, pero vemos que el periodo sólo depende de la longitud de cada uno de los dos péndulos y reitero que ambos deben tener la misma longitud.

Estos modos normales están hallados con la fórmula general de un péndulo doble físico, o sea no he usado la fórmula de aproximaciones para oscilaciones pequeñas usada en el capítulo anterior, por lo que podemos hacer los ejercicios correspondientes con cualquier amplitud que queramos.

Por lo tanto voy a hacer los cálculos para piernas y brazos, recordando que cada uno debe hallar los suyos propios.

- Vamos a hacer los cálculos para una pierna de medida 0,9 metros. Ésta es una pierna correspondiente a un ser humano entre 1,70 y 1,75 metros de altura.

Por lo tanto los dos periodos en los que tiene que moverse son:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- Vamos con los cálculos de un brazo de 0,6 metros como en el caso anterior hay que introducir la mitad de esa medida, o sea 0,3 metros.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Los ejercicios que voy a describir son andar,  la patada ,el gancho al hígado, y el ritmo de pedalear en una bicicleta, es preferible una bicicleta estática, ya que esta no tiene rozamiento con la carretera.

Estos ejercicios son de término medio no tan completos como la natación pero más potentes que el movimiento de la bailarina, además sueltas mucha adrenalina al hacerlos.

Deberemos usar los periodos correspondientes, para los brazos, el de los brazos, y para las piernas, el hallado para las piernas.

 

 

 

 

Unidad 2

Andando de forma armónica

 

Aquí usaremos cualquiera de los dos periodos hallados para el movimiento de las piernas.

Debemos hacer el movimiento completo de una pierna en ½ del tiempo hallado, y el movimiento completo de las dos piernas en el periodo total hallado.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Unidad 3

La patada

 

Aquí debemos hacer el movimiento de la pierna, en ¼ del tiempo hallado para las piernas.

La causa es que la pierna parte de una posición casi horizontal, y moverla hasta el extremo es una cuarta parte del movimiento total de un péndulo.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Unidad 4

El gancho al hígado

 

 

Aquí usaremos cualquiera de los dos modos normales para los brazos.

El movimiento hay que hacerlo en la cuarta parte del periodo total hallado, ya que la mano parte de un posición casi vertical hasta un extremo, lo que representa ¼ del movimiento pendular entero.

¡Cuidado de no probarlo con tu abuelita!.

 

 

 

 

 

Unidad 5

Pedaleando

 

Aquí usaremos cualquiera de los dos periodos hallados para las piernas.

El giro completo del pedal lo tenemos que hacer en el periodo total hallado para el movimiento pendular doble de nuestras piernas.

Una pierna hace un giro  de 180º y luego la otra pierna hace un movimiento igual, por lo tanto al hacer un giro de 360º hacemos un periodo completo.

Hay que recordar que para movimientos pendulares de dos péndulos físicos con amplitudes muy grandes, o sea de 180º o cercanas a ella, se corre el riesgo de que el movimiento pendular se convierta en caótico, esto no nos debe preocupar, pero puede ser la causa de que a veces al pedalear en estos periodos se nos pueda salir  la zapatilla del pedal :)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Unidad 6

 

Todo el cuerpo como un péndulo

 

En esta parte vamos a ver dos péndulos físicos acoplados con una singularidad que no habíamos visto.

Los dos péndulos simples van a actuar de una manera un poco especial, son dos péndulos unidos por un soporte semirígido. Y tienen la particularidad que en el caso de un desfase entre ambos, uno pasará la energía sobrante al otro.

 

 

 

En la posición (1) el péndulo 2 tiene mayor amplitud y por tanto mayor energía que el péndulo 1. En la posición (2) el péndulo ya ha transmitido parte de su energía al péndulo 1 y ambos tienen igual energía, por último en la posición (3) el péndulo 1 ya tiene más energía que el péndulo 2 y el proceso se repite, sólo que ahora el péndulo 1 le irá pasando energía al péndulo 2 y así seguirá el proceso continuamente.

En resumen si usamos ambos  ambos brazos como dos péndulos de estas características ambos se repartirán ecuánimamente la energía total del ejercicio.

Es una característica muy especial de los péndulos acoplados en esta forma que vamos a ver ahora, ya que transmiten la energía de uno a otro en caso de que un brazo tenga una oscilación menor de la suya propia.

La transferencia de energía se transmite desde los hombros por la parte superior del cuerpo, por lo que también tonificaremos toda la parte superior de nuestro cuerpo que sustenta la cabeza

Antes de nada voy a ilustrar con un dibujo la situación.

O sea no es a través de un soporte complétamente rígido.

 

 

 

 

La principal característica es considerar la masa inerte del resto del cuerpo como algo que no actúa de ninguna manera en el ejercicio y que sólo sirve para mantener los brazos estirados y por lo tanto que actúen como auténticos péndulos físicos, aunque ciertamente los músculos que van de un péndulo a otro son un poco rígidos considero que pueden trasmitir la energía de un péndulo a otro.

Considerando un modo normal como la situación en que ambos péndulos oscilan en el mismo periodo y que en el caso de que halle un desfase el péndulo que esté oscilando más rápido pasa la energía al que va más lento.

Los dos modos normales de este sistema, que tengo que recordar que son los modos en que ambos péndulos oscilan con el mismo periodo, son cuando ambos oscilan alrededor de la barra donde nos agarramos y cuando ambos oscilan en el mismo plano de la barra donde nos sujetamos ilustro con un dibujo.

 

Cualquiera de los dos ejercicios es válido.

El periodo es el hallado para la oscilación propia de un péndulo físico con simetría cilíndrica, donde la única variable es la longitud del brazo, o sea el periodo es:

 

 

(I) es el momento de inercia de un cilindro que oscila por una de sus tapas.

 

 

El momento de inercia para un cilindro que oscila de esta manera es:

 

 

Por lo que la fórmula del periodo es:

 

 

 

 

 

 

Vemos que las masas se cancelan.

-(l) es la longitud total del brazo, que vemos que está elevada al cuadrado

-(g) es la aceleración de la gravedad

-(h) es la distancia del punto de anclaje al centro de masas del brazo, que anda aproximadamente en la mitad de la misma, o sea par un brazo de 0,5 metros estará a 0,25 m.

 

Por lo tanto el periodo para un brazo de 0,5 metros es:

 

 

 

El ejercicio se puede considerar como suficientemente potente y equilibra cualquier desfase que pueda producirse en el movimiento y la única variable no puede ser más fácil y es únicamente la longitud del brazo extendido.

El otro modo normal es cuando ambos péndulos oscilan en el mismo plano y tienen el mismo periodo de oscilación o sea el que hemos dicho que sólo depende de la longitud del brazo.

Hay que recordar que los dos modos normales son los periodos en el que ambos péndulos oscilan con el mismo periodo.

 

 

 

CAPÍTULO 4

 

EFECTOS DE RESONANCIA AL NADAR

 

 

 

Hemos visto que al entrar en resonancia la amplitud aumenta considerablemente, un pequeño terremoto puede tumbar una casa si ambos sistemas entran en resonancia.

En un sistema simple, obviamente el mecanismo es más simple ya que el péndulo entra en resonancia consigo mismo o nuestro brazo al moverlo en su periodo de frecuencia natural entra en resonancia consigo mismo, pero aunque sean sistemas simples a todos los efectos estamos aprovechándonos de esa fuerza que tiende a infinito como en el caso de la soprano que rompe el vaso con su voz.

Otro sistema simple sería una tabla que hundimos ligeramente en el agua y se pone a oscilar arriba y abajo, esto vuelve a ser un (m.a.s) como el caso de un péndulo sólo que la tabla ahora oscila arriba y abajo en el agua en un tiempo característico y continuo como en el caso de un péndulo.

Hace unos años me vino una idea como caída del cielo, era Septiembre y había encontrado a una vieja amiga por Facebook, en enero tenía un examen de mecánica y me pasaba el día haciendo problemas, era tal la destreza que estaba teniendo con los problemas que casi intuía nuevas variables, ya que los problemas que hacía para el examen de la carrera prácticamente los dominaba, ponía mucho empeño y prácticamente dominaba todos los problemas a los que me enfrentaba, la verdad es que me acostaba exhausto.

Una mañana al despertarme me vino un idea que aunque simple podía conseguir simplemente mejorar los cálculos de como debería nadar un ser humano.

No sé si la idea me vino por inspiración divina o a causa del ingente trabajo que estaba llevando a cabo resolviendo problemas.

La idea era asemejar el cuerpo humano a una tabla, cuando flotamos en el agua sin movernos el cuerpo humano es bastante parecido a una tabla.

Era noviembre y al día siguiente fui a una “Spa” en Madrid, después de haber medido mi frecuencia natural de flotación y enseguida vi que la grasa acumulada en el abdomen desaparecía casi de forma instantánea, era como meter el abdomen en una centrifugadora, si se me permite la comparación.

Si hundimos ligeramente una tabla en el agua, ésta subirá arriba y abajo en un tiempo característico propio, además no importa si la hundimos mucho o poco siempre lo hará en el mismo tiempo, obviamente si la hundimos más hará el recorrido de subir y bajar más rápido ya que debe recorrer más espacio en el mismo tiempo, ésta es una característica importante, la amplitud o sea el camino recorrido es independiente de su periodo característico, además en el agua hay menos rozamiento por lo que el invento funcionaba.

Una tabla tiene el mismo periodo de oscilación natural que un barco de lados cuadrados, o sea un petrolero.

La fórmula es:

 

 

 

que es exactamente igual que la de un péndulo simple, solo que ahora (h) es la anchura de nuestro propio costado, si consideramos nuestro cuerpo como una tabla flotante.

La única variable que hay es la anchura de los costados.

 

 

 

 

Viene porque el (m.a.s) que tiene un cuerpo flotando está ligado con el movimiento circular, todos recordamos la fórmula de la longitud de una circunferencia que es:

 

 

 

 

-(g) es la aceleración de la gravedad en la tierra y viene después de simplificar el peso del nadador y la fuerza de empuje del agua desalojada, o sea el principio de Arquímedes.

Y la anchura de los costados viene porque hay que tener en cuenta la densidad del líquido que es:

 

 

 

 

 

Y de ahí viene la variable de la anchura de los costados, que si no existiera esta variable todos los hombres, barcos, etc… tendrían el mismo periodo de flotación natural.

Vemos que en la fórmula de oscilación natural de una tabla en el agua, sólo hay una variable, por lo que podemos simplificar y queda que:

 

 

 

 

 

 

Por lo tanto deberemos multiplicar la raíz de la medida ponderada del ancho de nuestro costado por 2 para hallar nuestro periodo de flotación natural en segundos.

Una media ponderada es una media estimada de diferentes medidas de un mismo cuerpo, por ejemplo en nuestro pecho hay mayor anchura de costado que en nuestros tobillos y en los muslos hay mayor anchura que en los tobillos, pero menos que en nuestro pecho.

Por ejemplo una media ponderada de la altura del siguiente cuerpo sería:

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

Por otra parte estamos considerando que:

- (g) aceleración de la gravedad es constante en todas las partes del planeta, a no ser que hagas el ejercicio en una piscina en el pico del Himalaya, y por otra parte  (g) es característica del Planeta Tierra, si lo hicieses en La Luna, tendría otra (g) ya que en La Luna la fuerza de la gravedad es menor.

¿Qué conseguimos con esto?, en principio dos cosas no entramos en desfase con la fuerza de la gravedad y la amplitud del movimiento tiende a infinito.

Por lo tanto vemos que una persona más obesa debe nadar más lento ya que al estar la variable en el numerador hace que el periodo sea mayor y por lo tanto debe hacer el movimiento completo en más tiempo y por lo tanto más lentamente.

El periodo es el tiempo en el que el cuerpo debe estar en la misma situación después de haber bajado y subido en el agua.

Si haces una media ponderada del costado de un cuerpo humano viene a ser de unos 14 cm. (más ancho en los muslos, más fino en los tobillos y más ancho en el estómago).

Midiendo esta variable de tu cuerpo ya podemos medir el tiempo en el que

debemos hacer una brazada completa, en mi caso:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Éste es el tiempo en el que tengo hacer una brazada,  (desde que empezamos a hacer la brazada nos sumergimos y volvemos subir    volviendo a estar en la misma posición), de esta forma conseguimos que la fuerza que desarrollamos para producir que este movimiento entre en resonancia con la frecuencia natural de nuestro propio cuerpo al flotar.

Es curioso que se acerque a un segundo que es la unidad de tiempo del sistema internacional de medidas, pero es que además en las siguientes partes veremos, que los tiempos de oscilación de diferentes partes de nuestro cuerpo se acercan mucho a esta medida y en otros casos a ½ segundo, y lo que es más sorprendente otras partes de nuestro cuerpo se acercan a tiempos que coinciden con el número áureo.

Hace dos años empecé a hacer este ejercicio en piscinas pero me preocupaba de recorrer la piscina, ahora creo que no merece la pena preocuparse por avanzar demasiado, y sí hacer el movimiento de hundirse y subir a la superficie sin avanzar mucho, o sea que se puede hacer en una piscina pequeña.

Si lo quieres hacer avanzando, tu cuerpo debe impulsarse siguiendo una función seno, una función seno la describo en la ilustración siguiente.

 


Vemos que la posición del nadador se repite cada cierto tiempo, ese es el periodo y la función tiene la forma de una onda.

Creo que lo mejor es sumergirnos y subir avanzando un poco, es mejor ya que es precisamente en el movimiento vertical del cuerpo donde se produce el (m.a.s), mas que en el movimiento horizontal de avanzar donde no se produce el (m.a.s).

También lo he probado en el mar, pero las olas tienen su propia frecuencia natural, y es difícil que dos osciladores físicos entren en resonancia (las olas y la frecuencia natural de flotación de nuestro cuerpo).

Se debería medir el periodo de las olas, que cerca de la playa tienen un periodo bastante constante, si su periodo de oscilación es de aproximadamente de un segundo nos vendría al pelo, o sea un segundo desde que empiezan a formarse cerca de la costa suben y bajan hasta desaparecer.

En este caso deberíamos nadar perpendiculares a la costa para aprovechar esta subida y bajada de las olas, aunque debería ser de un segundo aproximadamente para aprovecharlas bien.

Repito que el movimiento debe ser paralelo a la costa no perpendicular como hacen los surfistas para aprovechar su empuje, ya que eso es otro cantar,

Vemos que se usa la misma fórmula para medir el periodo de oscilación de un péndulo y para medir el periodo de flotación de un cuerpo similar a una tabla.

En un péndulo simple (h) es la longitud de la cuerda y en el caso de nuestro cuerpo (h) es la anchura de nuestro costado.

Más adelante usaremos la fórmula de un péndulo físico para diferentes partes de nuestro cuerpo.

Por último considerar que el cuerpo humano no es igual que una tabla pero una aproximación del 80% es suficientemente buena, en física se usan continuamente aproximaciones en muchos casos, ya que simplifican mucho los cálculos y muchas veces son perfectamente válidas para resolver los problemas a los que nos enfrentamos.

 

 

 

 

 

 

CAPÍTULO 5

 

LOS BRAZOS COMO MUELLES.

 

Hemos visto como nadar y mover las extremidades de forma pendular se pueden

hacer siguiendo un movimiento armónico simple, ahora vamos a ver otra forma de mover los brazos de forma armónica, pero siguiendo las pautas de un muelle.

Los barcos siguen movimientos armónicos en el mar, los relojes de péndulo

utilizan péndulos de un periodo específico para mover los engranajes del reloj en un tiempo determinado y así mover las agujas del reloj para que estos puedan medir el tiempo, pues bien los muelles también siguen un movimiento armónico y ahora vamos a hallar el periodo en que debemos mover nuestros dos brazos al unísono, para que entremos en resonancia con su oscilación natural en cualquier parte del universo, ya que este ejercicio no depende de la aceleración de la gravedad, la única variable que hay es la masa inerte que cuelga de los péndulos, y k que es una constante característica de cada muelle, tanto si hacemos el ejercicio en La tierra como en una montaña sobre en La Luna, el periodo hallado será el mismo y únicamente deberemos tener en cuenta nuestra propia masa, que repito que no depende de la fuerza de la gravedad, y por tanto es igual en cualquier parte, ya sea en La Tierra, La Luna o como si estamos en una nave espacial con gravedad cero.

La fuerza que ejerce un muelle sobre un masa está demostrado que es F = -k*x

(siendo k la constante de recuperación del muelle y x el desplazamiento).

Vemos dos características:

1) La fuerza es opuesta al desplazamiento

2) k la constante de recuperación es característica de cada muelle y en principio está muy relacionada con el material y la forma de construcción del muelle.

El ejercicio propiamente dicho es el que ilustro en el siguiente dibujo.

 

 

 

 

 

 

A todos los efectos los dos brazos actúan como dos muelles de los que cuelga la restante masa del cuerpo, quizás es difícil ver que los brazos sean unos muelles de los que cuelga la restante parte del cuerpo en esa posición, pero es realmente cuando actúan como muelles al subir y bajar los brazos un poco elevándolos y bajándolos.

Los brazos al hacer el ejercicio actúan como muelles de constante de recuperación "k" muy grande, prácticamente como un muelle de alambre fino que se deforma muy poco, aunque los músculos internos sí se deforman más y por lo tanto se pueden asemejar más a un muelle tradicional.

En teoría vamos a utilizar una "k" muy alta del valor de un material poco deformable.

Vamos a hallar el periodo en el que tenemos que subir los brazos un par de centímetros y volverlos a bajar, quiero recordar que en los movimientos armónicos simples la amplitud es independiente del tiempo, o sea podemos subir los brazos 2 ó 10 centímetros pero tenemos que hacerlo en el periodo que hayamos hallado, obviamente si los subimos 10 centímetros habrá que hacerlo a más velocidad que si sólo subimos 2 centímetros, pero sea cual sea la subida que hagamos el movimiento completo habrá que hacerlo en el periodo hallado para tu propio brazo.

Aquí no entramos en consideración de energía, que que si subes los brazos 10cm. la energía potencial producida es mucho mayor que si sólo subimos nuestro cuerpo 2 cm.

Nosotros sólo estamos centrados ahora en el movimiento armónico simple de nuestros dos brazos considerándolos como dos muelles de una k aproximadamente de 5.000 N/m y de la que cuelga la masa restante de nuestro cuerpo.

Una consideración importante es que la masa de nuestro cuerpo cuelga de nuestros dos brazos, o sea de dos muelles, y cuando una masa cuelga de dos muelles el cálculo de la constante elástica equivalente "k" cambia bastante, de una forma parecida a lo que lo hacen las resistencias en circuitos eléctricos, si están conectadas en serie o en paralelo.

 

 

 

 

 

 


En éste caso la “k” resultante es la suma de las constantes de cada muelle, o sea:

 

 

 

Que es justo la inversa de la “k” equivalente para dos resistencias unidas en serie en un circuito eléctrico que es:

 

 

                              

Vemos que hay un clara analogía para el cálculo de la constante elástica y la resistencia equivalente, cuando ambas están conectadas en serie, me parece una clara analogía entre la mecánica y el electromagnetismo, pero en nuestro caso nuestro brazos, están conectados en paralelo y la analogía con el

electromagnetismo continúa como describo en el siguiente dibujo.

 

 

Vemos otra vez que hay una clara analogía entre ambos sistemas, uno de mecánica y otro de electromagnetismo.

En este caso la constante “k” resultante es la suma de las constantes de cada muelle, o sea:

 

 

 

 

En el caso de las resistencias de un circuito eléctrico conectadas en paralelo

 la expresión es:

 

o sea justamente la inversa que para los muelles.

Insisto en que en este ejercicio lo que trabajamos son los brazos desde la muñeca al hombro, y que debemos subir y bajar los brazos intentando no torsionarlos, ni ayudándose de otros músculos de nuestro cuerpo, ya que para el ejercicio consideramos toda parte de nuestro cuerpo que no sean los brazos como una masa inerte, y el movimiento de los brazos arriba y abajo se debe hacer en el periodo que hallemos para nuestro propio cuerpo.

Vamos a hallar la constante elástica equivalente para mis brazos y en general para cualquier persona, los brazos son casi indeformables, no tanto como varillas de metal, pero de una constante elástica muy grande, esto quiere decir como he dicho antes que se deforman muy poco cuando cuelga peso de ellos.

Una "k" realista para nuestros brazos anda sobre el orden de 5000 N/m , y como ambos brazos están en paralelo, la constante elástica resultante es igual a:

 

 

El periodo de un un muelle es igual a:

 

Siendo (m) la masa inerte o sea nuestra masa total menos el 20%, ya que los brazos pesan el 20% de nuestro peso total y (k) la constante equivalente para dos muelles en paralelo que hemos hallado antes y es de 10.000 N/m

Vemos que en este ejercicio la única variable es la masa y como está en el numerador las personas con una masa mayor deberán hacerlo más lentamente

Cada brazo pesa aproximadamente el 10% de nuestro peso total, por lo que los dos brazos pesarán el 20% de nuestro cuerpo y por tanto la masa inerte que cuelga será el 80% del peso de nuestro cuerpo, o sea para una persona de 80 Kg. La masa interte será el 80% de ese peso o sea 64 Kg.

(Todas las medidas en el sistema internacional).

Por lo tanto el periodo en el que tenemos que subir y bajar los brazos es en mi caso:

 

 

¿Puedes ahora hallar el periodo para tu propios brazos y tu masa corporal?.

 

Quiero insistir que el perido es el tiempo total desde que subimos los brazos hasta que vuelven a su posición inicial, por lo que el ritmo es bastante rápido y debemos hacer el movimiento completo en 0,5 segundos.

 

Tengo que reconocer que este ejercicio es uno de mis favoritos, y que fortalece el cuerpo de una manera excepcional, y es que en este ejercicio hemos introducido una variante nueva, y es considerar a los brazos como dos muelles en paralelo, de una constante elástica muy grande, o sea casi indeformables.