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miércoles, 6 de julio de 2016

Base de polinomios que forman polinomios de grado n que satisfacen el número aúreo y su inverso




TRES POLINOMIOS QUE SATISFACEN EL NÚMERO AÚREO,
EL INVERSO DEL NÚMERO AÚREO Y EL CUADRADO DEL NÚMERO AÚREO



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© Pedro Hugo García Peláez, 2016





















Si consideramos la ecuación:










La verdad es que es un poco complicado decir como la deduje, yo no la encontré por ninguna parte.
Ahora la voy a generalizar para todos los números reales y quedaría como:












Elevando al cuadrado en ambas partes:












De aquí sale un polinomio que es:








Esta ecuación de tercer grado tiene tres raices reales que son:

X1 = -0.6180339887
X2 = 1.6180339887
X3 = 1.00000000


O SEA LA PRIMERA ES LA INVERSA DEL NÚMERO AÚREO CON SIGNO NEGATIVO
LA SEGUNDA ES EL NÚMERO AÚREO
LA TERCERA ES LA UNIDAD







El siguiente polinomio también tiene tres raices reales iguales que el anterior sólo que el número aúreo y su inverso están cambiados de signo






-x^3+2*x^2-1 = 0





X1 = 0.6180339887
X2 = -1.6180339887
X3 = 1.00000000

O SEA LA PRIMERA ES LA INVERSA DEL NÚMERO AÚREO
LA SEGUNDA ES EL NÚMERO AÚREO CON SIGNO NEGATIVO
LA TERCERA ES LA UNIDAD


Por último el polinomio siguiente tiene tambien tres raices reales:





-1.000000000 =x1:
2.618033989 =x2:
0.381966011 =x3:

O SEA LA PRIMERA ES LA UNIDAD CON SIGNO NEGATIVO
LA SEGUNDA ES EL CUADRADO DEL NÚMERO AÚREO
LA TERCERA ES LA RAZON DEL SEGMENTO PEQUEÑO DE UN SEGMENTO TOTAL DE LONGITUD LA UNIDAD



Los tres polinomios tienen una única solución en común que es -1 en x=0





Pero vayamos más allí, si hacemos un sistema de ecuaciones con las tres ecuaciones anteriores y la archiconocida ecuación:


x^2-x-1 = 0


Tenemos que el determinante de la matriz de cuatro por cuatro compuesta con las cuatro ecuaciones tiene determinante = 4

Obviamente la matriz tiene rango 4 que es una base de dimensión 4

La solución del sistema de estas cuatro ecuaciones es tambien x=-1

Esto empieza a ser sorprendente por lo que me llevó a pensar que se puede encontrar cualquier polinomio de cualquier grado que satisfagan el número aúreo y además que unidos a estos polinomios sea una base de cualquier dimensión.

Probé con un polinomio de cuarto grado que es el siguiente:

-x^4-x^3+2*x^2+x-1



Que tiene 4 raices reales

X1 = 0.6180339887
X2 = -1.6180339887
X3 = 1.00000000
X4 = -1.00000000

O SEA LA PRIMERA ES LA INVERSA DEL NÚMERO AÚREO
LA SEGUNDA ES EL NÚMERO AÚREO CON SIGNO NEGATIVO
LA TERCERA ES LA UNIDAD
LA CUARTA ES LA UNIDAD CON SIGNO NEGATIVO

Y tambien satisface la raiz -1 en x=0


Si hallamos el determinante de este sistema de 5 ecuaciones:




det A = 
  -1  
  -1  
  2  
  1  
  -1  
  0  
  -1  
  2  
  2  
  -1  
  0  
  -1  
  2  
  0  
  -1  
  0  
  -1  
  0  
  2  
  -1  
  0  
  0  
  1  
  -1  
  -1  
Tenemos sorprendentemente que el determinante vuelve a ser 4

Resumiendo podemos subir un grado el polinomio y ajustándo el valor del valor de x en un nuevo polinomio de grado x^n tendremos que nuevamente satisface el número aúreo su inverso y su cuadrado, teniendo n raices reales. Y además forman una base.

Vamos con un polinomio de grado 5

Las raices del polinomio x5−x4+2x3+2x2−1 son:
x1=0.61803
x2=1.32472
x3=−1.61803
x4=−0.66236+0.56228∗i
x5=−0.66236−0.56228∗i







Result
The roots of the polynomial x6−x5+2x4+2x3+3x2−1 are:
x1=0.48403
x2=−0.61803
x3=1.61803
x4=−1.89718
x5=−0.29342+1.00144∗i
x6=−0.29342−1.00144∗i
Explanation
This polynomial has no rational roots that can be found using Rational Root Test.
Roots were found using Newton method.









La multiplicación de dos de estos polinomio da otro polinomio de grado superior que también satisface el número aúreo.



Por ejemplo: (-x^4-x^3+2*x^2+x-1)*(-x^5-x^4+2*x^3+2*x^2-1) = x^9 + 2x^8 - 3x^7 - 7x^6 + 2x^5 + 8x^4 + x^3 - 4x^2 - x + 1






cuyas raices son:



Result
The roots of the polynomial x9+2x83x77x6+2x5+8x4+x34x2x+1 are:
x1=1
x2=1
x3=0.61803
x4=0.61803
x5=1.32472
x6=1.61803
x7=1.61803
x8=0.66236+0.56228i
x9=0.662360.56228i

Con el número aúreo y su inverso con dos raices reales cada uno y otras dos para la unidad.




Este último polinomio multiplicado por otro de nuestra base nos da otro polinomio:



(x9+2*x8−3*x7−7*x6+2*x5+8*x4+x3−4*x2−x+1)(-x^6-x^5+2*x^4+2*x^3+3*x^2-1)









-12x^7 - 13x^6 + 23x^5 + 26x^4 + 38x^3 + 3x^2 - 12x - 1






Cuyas raices son:

Result
The roots of the polynomial −2x713x6+23x5+26x4+38x3+3x212x1 are:
x1=112
x2=0.48403
x3=0.61803
x4=1.61803
x5=1.89718
x6=0.29342+1.00144i
x7=0.293421.00144i




Donde aparecen otra vez soluciones del número aúreo y su inverso.



Una vez que ya sabemos conseguir polinomios cuyas soluciones son el número aúreo a partir de nuestra base voy a pasar a otro sorprendente resultado.



Las integrales de todos estos polinomios en el entorno [-0.1, +0.1]



Son prácticamente iguales a 0.2 con cualquiera de los polinomios tanto de la base como los conseguidos por multiplicaciones entre ellos.





































O sea mantienen una norma casi igual en el entorno [-0.1,0.1]




Seguramente formen un espacio de Hilbert y sean la solución de alguna ecuación tanto de probabilidad como de física o quién sabe Dios de que.